понятие
игр теории (См.
Игр теория). М. и. -
игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий (См.
Стратегия). Если игрок I имеет
m стратегий, а игрок II -
n стратегий, то игра может быть задана (
m ×
n)-maтрицей
А = ||
aij||, где
aij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию
i (
i = -1, ...,
m), а игрок II - стратегию
j (
j = 1, ...,
n). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (См.
Антагонистические игры) (частным случаем которых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию
i0, на которой достигается
;
игрок II стремится выбрать стратегию jo, на которой достигается
;
Если υ1 = υ2, то пара (i0, j0) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство
; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
Число
называется значением
игры; стратегии
i0,
j0 называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если υ
1 ≠ υ
2, то всегда υ
1 < υ
2; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.
Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии
х*,
у*, на которых достигаемые "минимаксы" равны (общее их значение есть значение
игры). Например, игра с матрицей
имеет седловую точку при
i0 = 2,
j0 = 1, а значение
игры равно 2; игра с матрицей
не имеет седловой точки. Для неё оптимальные смешанные стратегии суть
х* = (
3/
4,
1/
4),
y* = (
1/
2,
1/
2); значение
игры равно
1/
2.
Для фактического нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к задачам линейного программирования (См.
Линейное программирование). Можно использовать так называемый итеративный метод Брауна - Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном "разыгрывании" данной
игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента.
Игры, в которых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.
М. и. могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают "природу", под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).
Лит.: Матричные игры. [Сборник переводов], под редакцией Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.
А. А. Корбут.